Jump to content
Forum Kopalni Wiedzy
Staruch

Matematyczne zagadki. na początek Mały Książe

Recommended Posts

@Staruch

Podpowiedź ma sens jeśli wiemy, że środkowa przecina przekątną w 1/3, to nie jest takie oczywiste... zgadywanie a przeprowadzenie dowodu... bo szukanie w tablicach czy necie takich rzeczy to jakoś mi nie leży... 

No i po co nam 6 metoda na policzenie, że to 1/6? (nie liczyłem, ale liczby, jakie tu występują, strasznie chcą utworzyć szóstkę)

Poza tym to nadal kwadrat, który jest tylko jedną z opcji dla czworokąta wypukłego. Prostopadłościan i deltoid mają dużą szansę dać ten sam wynik, ale trapez to już inna bajka.

 

Edit: W trapezie już przy proporcjach podstaw 1/6 między całym trapezem a trójkątem łączącym dowolny punkt dłuższej podstawy z 2 przeciwległymi rogami masz proporcje 1/7, a w miarę wydłużania długiej podstawy to rośnie... a nie zdążyliśmy nawet obciąć rogów tego trójkąta by zaczął przypominać ośmiokąt...

Share this post


Link to post
Share on other sites

Jeśli ten rysunek jest wystarczająco dokładny (może póżniej zrobię lepszy, ale nie wiem czy będę miał czas), to na jego podstawie można wszystko wyliczyć - wygląda na to, że zielony kwadrat, to 1/9 powierzchni dużego.

 

pa7ke75etn89.jpg

Edited by ex nihilo

Share this post


Link to post
Share on other sites

Pogo, ta podpowiedź jest bardzo dobra, bo nic tu nie trzeba liczyć. Spójrz na trójkąt prostokątny, którego część stanowi zielony trójkąt. W prawej dolnej części widać trójkąt podobny do zielonego o skali 2, czyli polu 4 razy większym. Pozostały trójkącik ma pole dokładnie równe zielonemu, co również jest na poziomie "dziesięciolatka" ;) Czyli jak przyłóż 1:6. Tak podejrzewałem, że zabawa sprowadzi się do podobieństwa trójkątów, i to w ogólnym wypadku. :)

 

Edit:

Pogo, jeśli chcesz "naukowego" dowodu podziału 1:3, to polecam najbrzydszy jaki wymyśliłem:

tg[(90-2*atg(1/2))/2] = 1/3 :)

Edited by Astroboy

Share this post


Link to post
Share on other sites

@ex nihilo

Wygląda przekonująco... ale nie mogę znaleźć dowodów na potwierdzenie tego (poza słowami Astroboya o przekątnych)

 

@Astroboy

Fajnie... ale widzę, że wymaga to wiedzy o proporcjach przecinania się tych wszystkich kresek trochę lepszej niż to co pamiętam... to mnie przeraża...

Share this post


Link to post
Share on other sites

Coś skrobię w mathematice odnośnie ogólnego dowodu. Jak narazie, to mnie pokonała tym, że zapomniałem jej składni, ale jutro o normalniejszej godzinie powinienem skończyć.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Jest porządny rysunek... mam nadzieję, że nie będzie już problemu ani z obliczeniami, ani z geometrycznym uzasadnieniem :) Pozostawiam to Wam, bo nie dosyć, że nieuk jestem, to nawet ostatnie ślady śladów wiedzy mi zdążyły całkiem już spod kopuły wyparować  :D

 

hrykhg98q76s.jpg

Linie mają grubość 3 px, ale ich środki są dokładnie na prowadnicach.

 

Jak mi sie uda, to przygotuję coś podobnego dla trapezu.

 

Edycja 03:47:

Hmm... chyba robi się ciekawie, bo albo coś na tym rysunku pomerdałem, albo pogo miał rację i w niektórych warunkach dwóch boków zabraknie:

noav287773f4.jpg

 

Przy zbliżaniu się do trójkąta coś się dziać musiało - w trójkącie nie powstanie ośmiokąt, gdzieś musi się "zgubić" po drodze. Wcześniej przypuszczałem, że jego powierzchnia będzie dążyć do 0, ale wygląda na to, że gubi boki :)

 

Trapezu nie będę teraz wklejał, żeby już nie mieszać.

 

Edycja 10:00

Pobudka!

Dla kwadratu:

duży 600*600=360000

ośmiokąt 200*200+4*5000=60000

zusammen do kupki ośmiokąt/kwadrat 1/6 (Astroboy!)

 

A co do prawie trójkąta: ciekawe jaka jest powierzchnia tego sześciokąta w stosunku do całości... może też 1/6? :)

Edited by ex nihilo

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ex nihilo, nikt nie obiecywał, że ten ośmiokąt zawsze będzie wypukły. :) Pójdź tropem algorytmu Afordancji.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ex nihilo, nikt nie obiecywał, że ten ośmiokąt zawsze będzie wypukły. :) Pójdź tropem algorytmu Afordancji.

Może wieczorem ten powklęsany ośmiokąt zobaczę, bo na razie mi się nie udaje (czas wybudzania ok. 2h) :D

 

Wklejam trapez:

qqopp33abb6c.jpg

 

i odpadam od kompa. Z trapezem zawsze mi się fajna historia z matury kojarzy - tylko dzięki nieuctwu załapałem się na 5 (wtedy max.) z matmy... bez nieuctwa bym na to nie miał szans :D).

Edited by ex nihilo

Share this post


Link to post
Share on other sites

@Astroboy

Nie da się uzyskać wieloboku wklęsłego za pomocą odcinków, które oba końce mają poza wnętrzem tego wieloboku.

 

@ex nihilo

Dzięki za narysowanie czegoś co potwierdza moje przypuszczenia :). Ale jest jeszcze jeden sposób na uzyskanie trójkąta: skrócenie jednego z boków czworokąta do 0.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Faktycznie, coś mnie również zastanowiło. Czasu jednak brak. :(

 

Edit: mały apel.

Staruch!

Ruszyłeś ciekawą część umysłu sporej części forumowiczów. Myślę, że MK jest tu dobrym przykładem, bo chodzi o zwyczajną odpowiedzialność. Jeśli chodziło Ci o eksperyment polegający na sprawdzeniu, jaki odsetek ziaren róży wykiełkuje na skale, to ok. Masz już odpowiednią próbkę statystyczną. Mam jednak głęboką nadzieję, że nie o to Ci chodziło. O RÓŻE należy DBAĆ!!! ;)

Edited by Astroboy
  • Upvote (+1) 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ale jest jeszcze jeden sposób na uzyskanie trójkąta: skrócenie jednego z boków czworokąta do 0.

 

Tak, ale nie miałem na to czasu. Fajny powinien być też romb, inne "prawie trójkąty" itd. W tym trójkącie warto by złapać moment wyzerowania "zielonych" boków. Chyba wiem gdzie on jest, ale narysowane, to narysowane. Może w nocy uda mi się powiązać ścieżki w taki sposób, żebym mógł robić dowolne przekształcenia bez przesunięcia zaczepów. W Gimpie tego jeszcze nie robiłem i nie wiem, czy się uda. Nie mam Illustratora ani Corela, może coś podobnego znajdę dla swojego linucha :)

 

Obrazki wkleję do tego postu, niezależnie od ilości odpowiedzi dalej, no chyba że temat przejdzie na następną stronę, to wtedy już tam.

 

Edycja:

 

Wkleję coś takiego: :)

5me6xirmd8xl.jpg

 

i na razie chyba zrobie przerwę w rysowaniu, bo mi się już te kreseczki całkiem... no wiadomo co :D Ten sześciokąt raczej  nie ma 1/6 powierzchi całości, czyli wygląda na to, że nie tylko ilość kątów figury w środku nie jest zachowywana, ale i stosunek powierzchni. Ośmiokąt w kwadracie, czyli 1/6, to będzie max.

Edited by ex nihilo

Share this post


Link to post
Share on other sites

Się ostatnio zetknąłem z zagadką, której mój humanistyczny umysł nie potrafi rozkminić. Otóż:

- mamy pytanie i cztery odpowiedzi. Dwie z tych odpowiedzi są identyczne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losując na chybił-trafił wylosujemy prawidłową odpowiedź?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Nie chce mi się solidnie liczyć, więc będę zgadywał.

Prawdopodobieństwo, że te 2 odpowiedzi są dobre jest 1/3 (?)

Jeśli tak, to prawdopodobieństwo trafienia dobrej jest 1/2

Jeśli nie - to 1/4

 

Teraz średnia ważona: (1/2 * 1 + 1/4 * 2) / 3 = 1/3

Intuicja mówi mi, że to nie jest prawidłowe rozwiązanie...

Share this post


Link to post
Share on other sites

Za mało danych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te dwie identyczne są poprawne?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Stawiam, że to też należy policzyć. Moje wyczucie mówi, że 1/3

Share this post


Link to post
Share on other sites

Sorry, Astroboy

dopiero co z pracy wróciłem, taka niewdzięczna robota. Nie przeprowadzam żadnego eksperymentu.

 

Najpierw obrazek

 

W kwadracie powstaje ośmiokąt foremny. Ciemnozielony trójkącik jest zatem trójkątem równoramiennym o boku b.

Jego powierzchnia Pt=1/2*b2 sin 45o = sqrt(2)/4 b2

Powierzchnia całego zielonego trójkąta PT=2b2

Zatem Pt/PT=sqrt(2)/8 

 

Reszta jutro, idę coś zjeść i spać.

Pozdrawiam

Share this post


Link to post
Share on other sites

Jakie jest prawdopodobieństwo, że losując na chybił-trafił wylosujemy prawidłową odpowiedź?

Nieokreślone. Brak informacji o ilości prawidłowych wśród tych 4. Może być 0-4 prawidłowych i tyle samo błędnych.

 

 

 

W kwadracie powstaje ośmiokąt foremny.
 

 

On nie jest foremny:

o667llzvx7ct.jpg

 

Na początku też myślałem, że foremny.

Edited by ex nihilo

Share this post


Link to post
Share on other sites

Gdyby był foremny, to na obrazku Starucha ciemnozielony trójkąt byłby równoramienny. Gołym okiem widać, że nie jest. ;)

Ośmiokąt i tak jest bardzo ciekawy, bo ma równe boki (cała konstrukcja ma cztery osie symetrii).

 

 

Zatem Pt/PT=sqrt(2)/8

To był nasz pierwszy wynik (sqrt(2)/8 = 1/(4*sqrt(2)), który jest błędny.

 

Edit: czy mógłbyś innym kolorem zaznaczyć w trójkącie prostokątnym trójkąt (prawa dolna część) podobny do ciemnozielonego? Wszyscy zobaczą najprostsze rozwiązanie. ;)

Edited by Astroboy
  • Downvote (-1) 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Zamieszczam moje pierwsze przeliczenie jakie zroiblem (tylko wtedy cos w obliczeniach nie poszlo tak :P ) z gory sorry za glupie oznaczenia (kolorami) , ale w paincie nie chcialo mi sie literek pisac:

 

Zielone = 1/2
niebieskie = 1
czerwone = sqrt(5)/2 (jest poprzykrywane troche innymi kolorami, ale wiadomo o ktory bok chodzi)
 
Pole trójkąta (zielone,niebieskie,czerwone) = 1/4
Pole równoległoboku = 1/2;
 
Jasnofioletowe = (z pola równoległoboku) = sqrt(5)/5
 
Pole kwadratu = 5/25 = 1/5.
 
jasnozielony = sqrt(1/4 - 1/5) = sqrt(1/20) = sqrt(5)/10
 
pole prostokata z podstawą jasnozieloną = sqrt(5)/10 * ( sqrt(5)/5 ) = 1/10
 
 
 
osimiokąt to pole kwadratu minus 4 trójkąty
 
 
zółty+brązowy+ciemnoniebieski = jasnofioletowy
1) z+b+c = sqrt(5)/5
 
2) b^2+z^2 = c^2
 
(c+z)^2 + jasnozielony^2 = (b+jasnozielony)^2
3) (c+z)^2 +j^2 = (b+j)^2
3) (c+z)^2 + 5/100 = (b+sqrt(5)/10) ^2
 
z+b+c = sqrt(5)/5
b^2+z^2 = c^2
(c+z)^2 + 1/20 = b^2 + b*sqrt(5)/5 + 1/20
 
 
b = sqrt(5)/15
 
z+c = sqrt(5)/5 - sqrt(5)/15 = 2Sqrt(5)/15
 
ze wzoru 2)
5/(15*15) = c^2-z^2
5/(15*15) = (c-z)*(c+z)
5/(15*15) = (c-z) * 2*sqrt(5)/15
 
c-z = sqrt(5)/30
 
 
2c = 5sqrt(5)/30 = sqrt(5)/6
c = sqrt(5)/12
 
z =  sqrt(5)/20
 
pole trójkąta malego
 1/2 b * z = 1/2 sqrt(5)/15 * sqrt(5)/20 = 1/120
 
teraz mamy 4 trojkaty = 4/120 = 1/30
 
i to odejmujemy od 1/5 do dostajemy 1/5 - 1/30 = 5/30 = 1/6
 
voila !

post-6421-0-20489400-1418287611_thumb.jpg

Edited by Afordancja

Share this post


Link to post
Share on other sites

Przepraszam Afordancja, czy mógłbyś mi przybliżyć, czym w poprzednim poście zasłużyłem na ujemny punkt reputacji?

  • Upvote (+1) 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

Przepraszam Afordancja, czy mógłbyś mi przybliżyć, czym w poprzednim poście zasłużyłem na ujemny punkt reputacji?

 

eee nic o tym nie wiem... hm.może cos kliknalem przypadkiem..zaraz to spróbuję naprawić jak się da...

 

hm..trochę mi głupio, ale nie wiem jak to naprawić 

 

Wyrównałem w drugim poście...

 

 

PS.

Przyznam się, że nie wiem jak do tego doszło..

Edited by Afordancja

Share this post


Link to post
Share on other sites

Matematykiem nie jestem, więc mogłem popełnić jakieś błędy.
Zamiast liczyć przebyte metry, lepiej użyć stopni kątowych (cały okrąg = 360st) i ustalić,
po ilu krokach przebędzie 360st. Więc (wielkości kroków w stopniach):
1 krok: 360/(1*100*PI) = 1.14st.
2 krok: 360/(2*100*PI) = 0.57st.
3 krok: 360/(3*100*PI) = 0.38st.
Zamiast tak liczyć, lepiej to ująć wzorem:
360 = (360/(1*100*PI)) + (360/(2*100*PI)) + (360/(3*100*PI)) + ..
A jeszcze lepiej, przekształcić wzór:
360 = 360 * ( (1/1*100*PI) + (1/2*100*PI) + (1/3*100*PI) + .. )
1 = 1 * ( (1/1*100*PI) + (1/2*100*PI) + (1/3*100*PI) + .. )
1 = 1/(100*PI) * ( (1/1) + (1/2) + (1/3) + .. )
100*PI = (1/1) + (1/2) + (1/3) + ..

Jak widać, po prawej stronie dostajemy szereg harmoniczny.
Jest on zbieżny do nieskończoności, więc istnieje rozwiazanie - da się obejść planetę.
Próbowałem to, na szybko, obliczyć w PHP, ale "narzędzie" okazało sie za słabe.
Policzę to, potem, w C (z dużą precyzją) i podam wynik (no chyba, że wielkość wyniku przekroczy i jego możliwości).

 

PS. Policzyłem, wyszło: 2.71924396793764245 * 10^136.

A jakby tamten ciąg przekształcić, to wyszłoby, mniej więcej, coś takiego: e^(100*PI) - 1,

gdzie: e- podstawa logrytmu naturalnego, PI- wiadomo    :)

(niestety, oba wyniki się nieco różnią, ale nie wiem, czy wynika to z dokładności obliczeń).

Edited by Fred Onizuka

Share this post


Link to post
Share on other sites

Policzyłem, wyszło: 2.71924396793764245 * 10^136.

Fred, gratuluję tak szybkiego komputera. U mnie pewnie liczyłoby się to tak z 10120 lat. ;)

 

Wracając do kwadratu, to pozwoliłem sobie przerobić rysunek Starucha (mam nadzieję, że autor nie ma mi za złe):

 

                               post-3906-0-75846400-1418330843.png

 

Rysunek jest dość czytelny, a dowód sprowadza się do stwierdzenia, że 1/(1+1+4) = 1/6. :)

Gdyby ktoś miał wątpliwości, to chętnie odpowiem.

 

post-3906-0-75846400-1418330843_thumb.png

Edited by Astroboy

Share this post


Link to post
Share on other sites

Witam,

Jakiegoś zaćmienia dostałem. Skąd pomysł, że ośmiokąt jest foremny. Oczywiście że 1/6

Share this post


Link to post
Share on other sites

Fred, gratuluję tak szybkiego komputera. U mnie pewnie liczyłoby się to tak z 10120 lat. ;)

Wynik nie do końca był liczony iteracyjnie (poddałem się po jakiś 10mld, potem już kombinowałem).

Poza tym, z tego, co teraz widzę, to ktoś już to wcześniej policzył.

Nie czytałem wszystkich komentarzy (tylko kilka pierwszych i ostatnich) - no cóż - lenistwo.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

×
×
  • Create New...