Matematyczne zagadki. na początek Mały Książe

[Astroboy 34]

Chyba utrafione Ex nihilo. Warto może podpowiedzieć, że skoro wniosek ma być prawdziwy dla dowolnego czworokąta wypukłego, to dlaczego nie dla kwadratu? A tam jakoś patrzy, że najdłuższa przekątna ośmiokąta foremnego to połowa boku kwadratu. Swoją drogą, ciekaw jestem ogólnego dowodu…

 

No i przyszła mi do głowy zabawa z tym kwadratem. Jak go ładnie poskładać, by za pomocą jednego ciachnięcia nożyczek pozostał ten ośmiokąt?

 

Edit: no i chyba zmyłka. Coś mi się wydaje, że jednak nie jest to ośmiokąt foremny. Trzeba się bardziej postarać…

 

Edit2: chyba wyjdzie 1/6 tak dokładnie, jak tylko się da.

Edited December 9, 2014 by Astroboy

[pogo 102]

Ja się zastanawiam czy zawsze uzyskamy ośmiokąt. Musze popróbować, bo wydaje mi się, że jest szansa aby zabrakło co najmniej jednego ściętego rogu...

[ex nihilo 219]

 

Edit: no i chyba zmyłka. Coś mi się wydaje, że jednak nie jest to ośmiokąt foremny. Trzeba się bardziej postarać…

 

Edit2: chyba wyjdzie 1/6 tak dokładnie, jak tylko się da.

Fakt, foremny to on chyba nie jest... a tak ładnie wyglądał Oczywiście, kwadratem się bawiłem.

 

Czyli Twój wynik pewnie będzie ok.

 

Musiało być coś między 4 a 8, tylko jakie coś - 5,6 czy 6... Kurcze, od 30 lat takimi zabawami się nie zajmowałem. W sumie fajnie do tego wrócić, nawet jak się w kamień kopnie, a nie w piłkę :D

[Afordancja 57]

Na moje tak na "czuja" to jakieś będzie 17/90 , a, nie 13/90 hm..coś pomieszałem, z liczbami, olać niech tak zostanie już

Edited December 9, 2014 by Afordancja

[ex nihilo 219]

 

 

Swoją drogą, ciekaw jestem ogólnego dowodu…

 

 

Jak się to rozrysuje dla kwadratu w programie graficznym i ciąga w te i nazad za rogi, widać prawidłowości, które chyba by mogły być podstawą dowodu.

[Flaku 26]

@astroboy masz rację. Jakieś zaćmienie miałem i nie zauważyłem, że dokładnie to samo napisaliście wcześniej.

 

 

A co do mojego pomysłu na ogólny dowód, to może dałoby radę podejść do tego od strony analitycznej? Przyjąć jakieś uogólnione współrzędne wierzchołków, na ich podstawie wyznaczyć środki boków, mając środki boków możemy wyznaczyć równania prostych nas interesujące. Mając proste policzyć współrzędne punktów, w których się przecinają, pole powierzchni ośmiokąta będzie sumą siedmiu całek oznaczonych podwójnych od jednego punktu do drugiego i od jednej prostej do drugiej z 1. Jak ktoś jest bardzo ciekawy, to podsuwam już mój pomysł, jak dziś się szybciej z projektem wyrobię, to sam spróbuję to wieczorem przeliczyć.

[Stanley 15]

Korzystając z podpowiedzi Astroboya narysowałem kwadrat

Nie wyszło idealnie ale widać kilka ułatwień

Powierzchnia ośmiokąta(zielony) jest mniejsza od kwadratu o cztery trójkąty prostokątne (szare) i cztery trójkąciki prostokątne (żółte)

Trzeba by policzyć powierzchnie szarego korzystając z obecności czerwonego i pewnie jest zasada podziału bo można by te trójkąty prostokątne dzielić i dzielić i dzielić w nieskończoność proporcje pozostaną niezmienne.

Nie wiem jeszcze jak.. ale improwizuje że to właściwy kierunek

 

Potrzeba obliczyć kąty w źółtym trójkącie korzystając z zasady 180' trójkątów, 360' w czworokącie - czuje że to wszystko trójkąty pitagorejskie.

Na koniec odjąc od powierzchni kwadratu x*x powierzchnie czterech szarych i czterech źółtych(ułamek x*x).

 

Lub inaczej korzystając z faktu że powierzchnia ośmiokąta jest sumą powierzchni 5 pomocniczych kwadracików(cienka kreska) i 4 trójkątów o boku i podstawie takiej jak owe kwadraciki rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi.

x = bok kwadratu i y = bok małego kwadracika. Ten bok trzeba by jakoś obliczyć... dalej będzie z górki.

Gorzej będzie udowodnić dla dowolnego innego czworokąta

 

A co do poprzedniego zadania - ustalasz zasady okej, ale to mały cios poniżej pasa Andrzeju

Może być nowa ksywka?

Bo Staruch mi się kojarzy z kibolem legii, a Andrzej Gołota ze spokojnym człowiekiem w sam raz do klimatu "matematycznych zagadek" ale raz złamał zasady i w ramach rewanżu został Van Goghiem boksu(z odgryzionym uchem)

To daje nadzieje na rewanż

Mów mi Mike

 

dziś tego nie skończe ale może komuś pomoże?

 

EDIT.

Widzicie równoległobok? (między dwiema środkowymi?) odległość między bokami to 3 krotność boku mini zielonych kwadracików...

boże.. jak w 5 minut obliczyć odległość międzi nimi....?

a musze iść... 

Edited December 9, 2014 by Stanley

[pogo 102]

Patrząc na Twój obrazek widzę kilka ciekawych rzeczy.

Wszystkie trójkąty są do siebie podobne (w sensie matematycznym). Trójkąt (szary+czerwony) wyraźnie ma podstawę a i wysokość a/2 (liczę że podstawą jest dłuższa z przyprostokątnych i tak będę robił do końca).

 

Policzmy więc powierzchnię szarego trójkąta. podstawa to 4/5 środkowej kwadratu, która wynosi sqrt(a²+a²/4) = a * sqrt(1,25) (nie ma żadnych trójkątów pitagorejskich), więc powierzchnia takiego trójkąta to  a * sqrt(1,25) * a * sqrt(1,25) / 4 = 0,3125 * a² (zniknęły niewymierności )

 

Zaraz policzę małe trójkąty, ale muszę zapisać zanim kot mi wejdzie na klawiaturę i wszystko skasuje...

 

Edit: już liczę dalej...

 

Żółty trójkąt ma podstawę (i analogicznie wysokość) 5 razy mniejszą niż szary. Co oznacza, że ma powierzchnię 25 razy mniejszą.

To w sumie daje: 0,3125 * a² + 0,3125 * a² / 25 = 0,325 a²

i to razy 4 i mamy: 1,3 a²...

 

Źle... liczę jeszcze raz...

 

Edit: widzę błąd. Policzyłem powierzchnię nie szarego trójkąta, a (szarego+czerwony). Ciekawe czy to jedyny błąd...

[ex nihilo 219]

Ja się zastanawiam czy zawsze uzyskamy ośmiokąt. Musze popróbować, bo wydaje mi się, że jest szansa aby zabrakło co najmniej jednego ściętego rogu...

Hmm... No właśnie... Graniczny przypadek to czworokąt nieskończenie mało różniący się od trójkąta. I co wtedy? Powierzchnia ośmioboku powinna chyba wtedy -> 0. Nie mam teraz czasu, żeby się tym zabawić.

[Astroboy 34]

Brawo Stanley! To bardzo dobry kierunek. Rozwiązanie masz pod nosem. Wydaje mi się, że łatwiej od kwadratu (zielone+żółte) odjąć 4 żółte trójkąciki (podpowiem, że to najprostsze pitagorejskie, 3:4:5 ).

 

 

 

Lub inaczej korzystając z faktu że powierzchnia ośmiokąta jest sumą powierzchni 5 pomocniczych kwadracików(cienka kreska)

 

To, niestety, błędny trop (to nie są kwadraty)…

 

Pogo, "Wszystkie trójkąty są do siebie podobne (w sensie matematycznym)" to właściwie prawda, bo wszystkie mają trzy boki. Ale serio, to niekoniecznie…

 

No to jak chętni doliczą, to powinniśmy dostać ten stosunek 1:6 (ja poszedłem trochę bardziej uciążliwą drogą: zauważyłem, że dłuższa przekątna ośmiokąta (oś symetrii) to połowa boku kwadratu, a krótsza przekątna (też oś symetrii) to trzecia część przekątnej kwadratu); dalej to już prosto, osiem trójkącików; no chyba, że się gdzieś walnąłem:)).

 

 

 

Jak się to rozrysuje dla kwadratu w programie graficznym i ciąga w te i nazad za rogi, widać prawidłowości, które chyba by mogły być podstawą dowodu.

 

Tego bym się trzymał! Dowód dla kwadratu wystarczy, bo "ciąganie" nie zmienia stosunku pola ośmiokąta do pola czworokąta. Tu czekam na Starucha (Andrzeja?); pewnie (nie chcę strzelić gafy) wytrychem jest przekształcenie afiniczne.

[ex nihilo 219]

Tego bym się trzymał! Dowód dla kwadratu wystarczy, bo "ciąganie" nie zmienia stosunku pola ośmiokąta do pola czworokąta. Tu czekam na Starucha (Andrzeja?); pewnie (nie chcę strzelić gafy) wytrychem jest przekształcenie afiniczne.

To chyba jednak nie takie proste i rozwiązaniem może być przedział od 1/inf do 1/6 (graniczne przypadki prawie trójkąt i kwadrat)  

 

 

Edycja 19:59

Jednak nie... program graficzny mnie zmylił.

Edited December 9, 2014 by ex nihilo

[pogo 102]

Czyli żółte kwadraty mają inne katy niż szary i czerwony? To psuje moją koncepcję... Ale wciąż jest do policzenia, tylko już nie odczuwam sensu robienia tego...

[Stanley 15]

kurde a miałem iść do garażu naprawiać skuter znowu pojade rowerem  

 

Astroboy faktycznie nie kwadraciki ale prawie! środkowy kwadracikiem, zielone "boki pudełka" mają 1/2 wysokości, podobnie jak "wszystkie" zielone, żółte, czerwone trójkąty proporcje boków 1/2.

Dodałem niebieski...może się przyda?

Skoro szary jak pisze pogo 4/5 szaro-czerwonego którego powierzchnie można obliczyć (wysokość dzieli na trójkąty podobne, proporcje proporcjami boków, podstaw etc) Jedno odhaczone.

 

Pozostały źółte ewentualnie zielone które ewidentnie mają identyczną powierzchnie co żółte(?), ponato kwadracik o boku takim jak ich dłuższa podstawa i prostokącik o krótszym boku takim jak ich krótsza podstawa.

Więc wystarczy  jeszcze obliczyć ich proporcje do boku kwadratu "a" 

 

Lepiej pójdę do garażu albo pozmywam 

mineło półtorej godziny na nic   co się dzieje z czasem?

nie dam rady, co się stało z moją głową 

Edited December 9, 2014 by Stanley

[Astroboy 34]

Ale wciąż jest do policzenia, tylko już nie odczuwam sensu robienia tego...

 

Kurczę, chyba nie przeze mnie Pogo? Jeśli tak, to przepraszam, trzeba mi było ugryźć się w język (tfu! w palec ).

 

Edit: Zapomniałem. Staruch, pytałeś o ilość możliwych partii go. Chyba jest to więcej

 http://en.wikipedia.org/wiki/Go_and_mathematics

Edited December 9, 2014 by Astroboy

[pogo 102]

Pozostały źółte ewentualnie zielone które ewidentnie mają identyczną powierzchnie co żółte(?), ponato kwadracik o boku takim jak ich dłuższa podstawa i prostokącik o krótszym boku takim jak ich krótsza podstawa. Więc wystarczy  jeszcze obliczyć ich proporcje do boku kwadratu "a" 

Jeśli już wiemy, że żółte kwadraty są pitagorejskie to znaczy, że długość dłuższej przyprostokątnej to (4/11) * (2/5) środkowej... a krótszej (3/11) * (2/5) środkowej.

Nie ułatwia to obliczeń.

 

W wyobraźni właśnie spróbowałem przerobić ten kwadrat na trapez i okazuje się, że zupełnie się zmieniają proporcje powierzchni gdy zbliżamy się do trójkąta... tak jak pisał ex nihilo... powierzchnia "ośmioboku" dąży do zera. (W cudzysłowie, bo nie jestem pewien czy nie zaczyna mu w pewnym momencie brakować co najmniej jednego boku.)

 

Edit:

Wciąż się zastanawiam dlaczego to są trójkąty pitagorejskie... z czego to wynika?

[Afordancja 57]

no nic, jak liczyć prostymi, na osi współrzędnych , nie chce wyjśc inaczej niż 1/6 hm....

[pogo 102]

@Stanley

żółty trójkąt, który narysowałeś wewnątrz zielonego kwadratu na pewno jest źle.

Te cienkie kreski albo nie trafiają w punkty przecięć albo są po kątem innym niż 90° do boków kwadratu. Jakbyś narysował to dokąłdniej to byś doskonale to widział. W końcu te małe żółte trójkąty nie są równoramienne i dzielą bok zielonego kwadratu w proporcjach 4/4/3 (choć początkowo myślałem, że 2/2/1), więc o ile w samym środku rzeczywiście jest kwadrat, to pozostałe 8 to 4 deltoidy (w rogach) i 4 chyba pozbawione reguł czworoboki.

 

@Afordoncja

Ty się nie chwal, że masz taki sam wynik tylko pokaż obliczenia. Powinniśmy mieć tu co najmniej 3 metody dojścia do tego samego

 

Edit: zarówno tutaj jak i w poprzednim poście źle spojrzałem na proporcje... oczywiście są to: 4/5/3

[Astroboy 34]

Kurczę, korci mnie, więc podpowiem.

Wycinamy czerwony trójkąt i doklejamy do niebieskiego, po czym jeszcze trzy takie zabiegi. Wychodzi piękny krzyż, co przekonuje nas, że kwadrat zielone+żółte to dokładnie 1/5 dużego kwadratu. Teraz patrzymy na jeden z żółtych trójkącików i cieszymy się, że jego przeciwprostokątna do dokładnie bok ośmiokąta…

[pogo 102]

@Astroboy... właśnie to rysowałem

 

Rozwiązanie godne 10 latka... Przy czym to raczej ubliża nam wszystkim, że od tego nie zaczęliśmy, a nie samemu rozwiązaniu

 

 

Edit:

To może teraz to samo zadanie dla prostokąta 2x1  za jakiś czas dojdziemy do bardziej ogólnych czworokątów wypukłych.

[Afordancja 57]

Afordoncja Ty się nie chwal, że masz taki sam wynik tylko pokaż obliczenia. Powinniśmy mieć tu co najmniej 3 metody dojścia do tego samego

 

Dam trzeci (najszybszy którym "policzyłem", później na kartce, ale tego już nie wkleję :/ , brute force )

 

[Edit]

W sumie jak tak patrzę, mógłbym to samo przepisać dla dowolnego czworokąta..

 

[edit2]

 

 

Wychodzi piękny krzyż, co przekonuje nas, że kwadrat zielone+żółte to dokładnie 1/5 dużego kwadratu. Teraz patrzymy na jeden z żółtych trójkącików i cieszymy się, że jego przeciwprostokątna do dokładnie bok ośmiokąta…

hehe, do 1/5 doszedłem(z równoległoboku), do przeciwprostąkątnej doszedłem, ale myśałem, że te trójkąty są takie same i po odjęciu wyszło mi własnie te ileś tam  90

 

 public static boolean czyjestW(double x, double y) {
    if (2 * x + 0.0 < y) {//ok
        return false;
    }

    if (2 * x - 1.0 > y) {//ok
        return false;
    }

    if (-2 * x + 1.0 > y) {//ok
        return false;
    }

    if (-2 * x + 2.0 < y) {//ok
        return false;
    }

    if (0.5 * x + 0.0 > y) {// ok
        return false;
    }

    if (0.5 * x + 0.5 < y) {//ok
        return false;
    }

    if (-0.5 * x + 0.5 > y) {//ok
        return false;
    }

    if (-0.5 * x + 1.0 < y) {//ok
        return false;
    }

    return true;
}

Edited December 9, 2014 by Afordancja
poprawiłem formatowanie kodu, bo edytor dołożył zbędnych linii

[pogo 102]

jakieś objaśnienie? bo nie ogarłżem...

[Afordancja 57]

jakieś objaśnienie? bo nie ogarłżem...

To funkcja która sprawdza, czy punkt znajduje się w tym 8 kącie, a później póściłem ją dla 100 milionów losowych punktów, wystarczyła mi ta dokładność

B. podobną funkcję dało by się napisać dla dowolnego czworokątu wypukłego iteż przelecieć 100 milionów razy

Albo liczyć współrzędne, ręcznie, ale szlag mnie trafił przy trzecim więc olałem

 

[edit]

Dla dowolnego wypukłego nie było by to już tak banalne(mówię o programie), chyba, że je też losuję, to wtedy prosto.

Edited December 9, 2014 by Afordancja

[pogo 102]

Brakowało mi właśnie wyjaśnienia jak to odpalać.

A tego typu funkcji można używać dla obliczania powierzchni dowolnych kształtów Kwestia poziomu zadowalającej precyzji, ale wówczas trzeba tylko więcej "rzutów kamieniem".

[Staruch 1]

Podpowiedź

 

Miłej zabawy.

 

 

Dziękuję za info na temat GO.

Teraz tylko siadać, napisać program, i zostać bogaczem. O ile się nic nie zmieniło to nadal jest nagroda 1 mln$, za wygraną programu z juniorem na Tajwanie

Edited December 9, 2014 by Staruch

[Afordancja 57]

Dziękuję za info na temat GO. Teraz tylko siadać, napisać program, i zostać bogaczem. O ile się nic nie zmieniło to nadal jest nagroda 1 mln$, za wygraną programu z juniorem na Tajwanie

 

Nie wiem czy to dalej akutalne skoro teraz programy osiągają już 1 Dan (dzięki prymitywnemu w sumie algorytmowi), ale ok, to offtop

 

PS.

@Staruch, przez Ciebie zamiast pisać program w "głupoty" się bawię

Edited December 9, 2014 by Afordancja