Matematyczne zagadki. na początek Mały Książe

[Astroboy 34]

Mi się c przez tangens zera też nie podoba.

 

Edit: generalnie odrzuciłbym te zbędne rozważania. W końcu w zadaniu tyczki przecięły się w punkcie.

Edytowane 13 grudnia 2014 przez Astroboy

[darekp 80]

Ale to równanie mi się nie podoba... dla c=0 wynik powinien być ok, tyle że x nie będzie określone (x >= a lub b )

Jak wyprowadzałem sobie wzór Astroboya (korzystając z pomocy panów Pitagorasa i Talesa, ale bez udziału C2H5OH), to musiałem przejść przez taki moment, gdy c było w mianowniku, może to jest odpowiedź? Wygląda na to, że matematyka niestety jest mało wrażliwa na nasze uczucia w takich sytuacjach, a tu ma na dodatek dość mocny argument żeby się nie przejmować - dla c = 0 punkt przecięcia rozmywa się do całego odcinka.

Edytowane 13 grudnia 2014 przez darekp

[Staruch 1]

Jeśli się nie pomyliłem to

[ex nihilo 222]

Mi się c przez tangens zera też nie podoba. W końcu w zadaniu tyczki przecięły się w punkcie.

 

 

dla c = 0 punkt przecięcia rozmywa się do całego odcinka.

 

Bunt!

W przypadku wzoru  w każdym przypadku c=0 średnica studni jest nieokreślona, także dla a(lub b ) = S, co jest przecież nieprawdą, oszustwem, kłamstwem i bajerem, bo ta średnica jest określona wtedy wyjątkowo dokładnie, i bez możliwości pomyłki w obliczeniach (S=a lub b )! Rozwiązanie powinno to pokazywać. 

Rozwiązanie trygonometryczne to pokazuje:

seca = a/S;     dla a=S dostajemy: seca = a/a = 1, czyli kąt a = 0, co jest prawdą (w przypadku a<S nie musi istnieć punkt przecięcia a i b, czyli nie może być dane c=0).

Liczenie z tangensów (S = c/tga + ...) oczywiście w takiej sytuacji odpada, po prostu nie daje wyniku (chyba że wynik 0/0 potraktujemy jako granicę).

Ale tg można użyć: c=0 => tga=0 => a=0 => seca=1 => S=a 

(chyba że jakiś błąd w tym zrobiłem, już mi się to trochę [....] pod kopułą )

 

Dla a=S i b>S punkt przecięcia istnieje - mają jeden wspólny punkt. Dla niektórych innych kombinacji (np. a=b=S) to przecięcie faktycznie się "rozmywa" po całości lub jakiejś części (a+b>S/2) tych odcinków (tożsamość).

Edytowane 14 grudnia 2014 przez ex nihilo

[darekp 80]

 

 

Bunt!

 

Drogi buntowniku (ja też czasem lubię się buntować, ale w tym wypadku nie mam jak) nie ustosunkowałeś się do tego:

 

musiałem przejść przez taki moment, gdy c było w mianowniku,

wydaje mi się, że to jest najpoważniejszy powód (chociaż oczywiście mogę się mylić)

[Astroboy 34]

Dla a=S i b>S punkt przecięcia istnieje

Owszem, zgadza się.

 

Rozwiązanie powinno to pokazywać.

Gdybym był pojedynczym rozwiązaniem, czyli x=f(a,b,c), to po wrzuceniu f(a,b,0) odmówiłbym współpracy. No bo niby skąd miałbym wiedzieć, która tyczka jest krótsza? Oczywiście rozwiązanie po wrzuceniu np. f(2,3,0) powinno dać poprawną odpowiedź.

 

Jeśli się nie pomyliłem to

Nie sprawdzałem, ale potęgi się zgadzają. Obawiam się, że jeśli przysiadłbym z kartką (oj, dość długą ), to pewnie jak nic, walnąłbym się przy rozwiązaniu. W końcu sprowadza się to "jedynie" do równania czwartego stopnia. Na marginesie, moja Maxima po niezbyt długim "tentegowaniu w głowie" niby to rozwiązała, ale napyszczyła mi, że wyrażenie jest zbyt długie, aby je wyświetlić. Może tylko się wymądrza?

Staruch, jeśli znajdziesz rozwiązanie, to może warto je wyświetlić dla przyszłych pokoleń (Ferrari wczoraj niby wpadł na winko, ale długo nie zabawił – szybko odjechał jakąś wypasioną bryką )…

 

W oczekiwaniu na zapewne dość "barokowe" rozwiązanie postawię inny problem. Mamy drabinę o długości H opartą pod kątem α o mur. Drabina jest matematyczna, czyli nie ma masy i może ślizgać się po murze i podłożu bez tarcia. W pewnej chwili dokładnie na środek drabiny wskakuje jakiś astroboy (zdecydowanie ma masę ) i drabina zaczyna się zsuwać. Jaka krzywa reprezentuje tor ruchu astroboya? Jak zmienia się z czasem jego prędkość (do momentu przyziemienia oczywiście )?

 

Edit: Napisałem wyżej

"Oczywiście rozwiązanie po wrzuceniu np. f(2,3,0) powinno dać poprawną odpowiedź.",

jednak tak oczywiste to mi się już nie wydaje.…

 

Edit2: uściślę zadanie z drabiną (dla Ex nihilo): α < 90°

Edytowane 14 grudnia 2014 przez Astroboy

[pogo 102]

 

 

Gdybym był pojedynczym rozwiązaniem, czyli x=f(a,b,c), to po wrzuceniu f(a,b,0) odmówiłbym współpracy. No bo niby skąd miałbym wiedzieć, która tyczka jest krótsza? Oczywiście rozwiązanie po wrzuceniu np. f(2,3,0) powinno dać poprawną odpowiedź.

Poprawną czyli jaką? Przecież w takiej sytuacji obie tyczki leżą na dnie i obie mogą być krótsze od szerokości studni. 

 

Widzę, że nikt nie ma czasu liczyć... ja jeszcze nie zdążyłem nadrobić czytania KW po ostatnich 2 dniach prawie całkowitej przerwy.

[Astroboy 34]

Poprawną czyli jaką? Przecież w takiej sytuacji obie tyczki leżą na dnie i obie mogą być krótsze od szerokości studni.

Mogą, ale nie muszą, bo leżeć może tylko jedna. Ale masz rację, rozwiązanie raczej nie będzie jasnowidzem.

Już wcześniej proponowałem skupić się nad c > 0.

 

Edit:

 

 

Dla a=S i b>S punkt przecięcia istnieje

Precyzyjniej nie jest to punkt przecięcia, a styku jedynie. Jeśli a<S i b>S to tyczki też się mogą stykać.

Edytowane 14 grudnia 2014 przez Astroboy

[Stanley 15]

Zagadka studzienna świetnie pasuje do tematu bo jej praktyczna użyteczność jest zerowa 

Wsadzić tyczki to studni żeby zmierzyć szerokość 

no ja rozumiem gdyby nie mieć miarki a jedynie np. dwie listewki o znanych długościach (przypodłogowe z Castoramy  )  ale żeby wykonać pomiar trzeba by było do niej wejść po drabinie i zmierzyć np. miarką 

Genialne! 

 

Mam zadanie studzienno praktyczne ale obawiam się że zbyt trudne w tle wpleciona:

PN-EN 13476-3+A1:2009 

Edytowane 14 grudnia 2014 przez Stanley

[Astroboy 34]

 

 

Zagadka studzienna świetnie pasuje do tematu bo jej praktyczna użyteczność jest zerowa

Obawiam się Stanley, że gdyby ludzkość (przynajmniej jej drobna, światła część) nigdy nie zajmowała się tak "niepraktycznymi" problemami, to dziś nie zajmowałoby Cię podziemne bezciśnieniowe odwadnianie i kanalizacja, a raczej polowanie z maczugą.

[thikim 119]

Ryzyko i zajmowanie się rzeczami niepotrzebnymi pcha ludzkość do przodu.

Bezpiecznie jest wykonywać rzeczy znane i ograniczać się do rzeczy koniecznych.

Może jednak Staruch zapytasz swojego kolegę o rozwiązanie i je podasz.

[Astroboy 34]

No dobra, by zamknąć problem tyczek proponuję to narzędzie (daje radę):

http://www.wolframalpha.com/widget/widgetPopup.jsp?p=v&id=bc455327d0772719486c1a3ecf2e96d3&title=Math%20Help%20Boards%3A%20Equation%20Solver&theme=blue

W pierwszym polu (Equation) wpisujemy c/sqrt(a^2-x^2)+c/sqrt(b^2-x^2)=1 i klikamy Solve. Pierwszy pierwiastek mieści w niecałych 70 liniach (nie przyjrzałem się nawet, czy jest rzeczywisty, czy zespolony).

 

Edit: wygląda na to, że równanie trzeba wklepać ręcznie (przy kopiowaniu równanka, które podałem wyżej, jakoś nie chce współpracować…).

Edytowane 14 grudnia 2014 przez Astroboy

[thikim 119]

Myślisz że chodzi o takie rozwiązanie?

[Astroboy 34]

Myślę, że tak. Rozwiązanie powinno raczej być rzeczywiste i dodatnie. Na placu boju pozostają dwa. Jak ktoś ma czas, to warto sprawdzić, czy nie jest to jedno, podwójne.

[thikim 119]

Rozwiązania zagadek często mają też jeszcze inne cechy poza rzeczywistością i dodatniością. Błyskotliwość i prostotę.

Edytowane 14 grudnia 2014 przez thikim

[ex nihilo 222]

@ Astroboy

 

Przecinają się. Mają jeden punkt wspólny i to jest warunek wystarczający. Żadna z nich nie musi robić "break on through (to the other side)" drugiej Styk by był, gdyby odległość =0 (bez punktu wspólnego). 

 

jeśli c = 0, to a albo b (ta krótsza) = S : (też @ pogo)

wynika to już z samych założeń zadania - punkt przecięcia istnieje (konieczność, a nie tylko możliwość), bo "odległość od punktu przecięcia do dna studni wynosi c". W przypadku, kiedy a<S i b<S nie istnieje c, kiedy a=b<S, tak samo, czyli jedna z nich musi być =S, a druga od niej dłuższa. Tyczki, które tego warunku nie spełniają, muszą być odrzucone (sprzeczność założeń), nie mogą być "dane". Oczywiście, kiedy mamy S, nie ma już problemu z wyliczeniem kąta drugiej tyczki, ale to tylko dla sportu, bo rozwiązanie tego nie wymaga.

 

Dane "a,b,0"... brak kompletu danych. Ale nadal rozwiązywalne: jeśli a =/ b (to wynika z założeń, jw), to są dwa rozwiązania: dla a<b i a>b.

 

Trygonometrię po coś wymyślono, prawdopodobnie po to, żeby jej używać, kiedy jest wygodniejsza od innych wynalazków Miałem zamiar te wzorki "skompresować", ale kiedy stwierdziłeś, że dojdę do Twojego wzoru (nie sprawdzałem tego), zrezygnowałem, bo taka kompresja to jak wbijanie gwoździa kafarem, a nie młotkiem... Próbowalem sobie wyobrazić, co może być dalej, kiedy bedzie się próbowało z tego wymiksować x, ale wyobraźni mi zabrakło, bo takiej pokraki jaka z tego wyszła, to nawet po kilku porządnych miarkach knyszyńskiej księżycówki bym sobie wyobrazić nie mógł  

 

Co do Twojego zadania - nie miałem czasu, ale prowizorycznie: wektorki, kierunki będą styczne do ćwiartki okręgu r=H/sgrt2. Albo i nie Acha... odrzuciłeś a=90, ale zapomniałeś o a=0

 

@ darekp

 

Nie robiłem tego, dlatego trudno mi się było odnieść. Ale to prawdodopodobne. Poza tym nie są tam wyeliminowane pierwiastki urojone, co mocno komplikuje całość.

[Astroboy 34]

 

 

Rozwiązania zagadek często mają też jeszcze inne cechy poza rzeczywistością i dodatniością. Błyskotliwość i prostotę.

Cóż, chętnie bym zobaczył błyskotliwe i proste rozwiązanie tego problemu…

 

 

 

Styk by był, gdyby odległość =0 (bez punktu wspólnego).

Czyżby te tyczki "uwspólniły" jakiś elektron?

 

 

 

Acha... odrzuciłeś a=90, ale zapomniałeś o a=0

Faktycznie, nie przyszło mi na myśl wskakiwanie na płasko leżącą drabinę, jakoś tego nie praktykuję.

[thikim 119]

 

Cóż, chętnie bym zobaczył błyskotliwe i proste rozwiązanie tego problemu…

Ja też, dlatego czekam na Starucha

Jeśli zagadka miała by mieć takie rozwiązanie to od razu trzeba było napisać:

znajdź x spełniające warunek:

x¹³³-cx¹²+43c²³x^33-c +22x³-2c⁴x⁶-34c+34=33c

Mogę całą gamę takich zagadek wygenerować podobnie jak i inni

[pogo 102]

Czy Astroboy wskakujący na drabinę znowu jest matematyczny i działa punktową masą, przez co nie może nadać momentu ów matematycznej drabinie? Inaczej gdy drabina jest dostatecznie blisko pionu, to środek ciężkości wychyla się poza podstawę i drabina się przewraca według innego już wzoru.

Jaki pęd posiada Astroboy w momencie dotknięcia drabiny? Jaki jest jego wektor? Czy uderzenie następuje jednocześnie całą masą?

 

 

A co do zagadki ze studnią... nie wierzę w jakieś zgrabne rozwiązanie od kiedy rozpisałem sobie prosty przypadek gdzie prawie wszystkie punkty styku trafiają w kratki kartki, a długość jednej z tyczek posiadała w zapisie sqrt(13)... (druga tyczka miała długość wymierną: 7,5 kratki, szerokość studni - 6, wysokość przecięcia - 3).

Musiałem spróbować na jakimś szczególnym przypadku, aby móc kombinować z prostymi zależnościami...

[ex nihilo 222]

Czyżby te tyczki "uwspólniły" jakiś elektron?

 

Jeśli punkt ma elektron, to pewnie tak

 

Faktycznie, nie przyszło mi na myśl wskakiwanie na płasko leżącą drabinę, jakoś tego nie praktykuję.

 

Niekiedy taka umiejętność może się przydać: http://braniewo.wm.pl/38725-136576,Cwiczyli-jak-pomoc-gdyby-zalamal-sie-lod,0.html

 

@ pogo

No i sprężystość drabiny matematycznej, a także odporność Astroboy'a na guzy

Edytowane 14 grudnia 2014 przez ex nihilo

[pogo 102]

Jako, że drabina jest matematyczna, to z góry założyłem, że jest doskonale sztywna.

[Astroboy 34]

Thikim.

 Może się mylę, ale może ta zagadka to bardzo ciekawy przykład pozornie banalnego problemu, który niekoniecznie ma równie banalne rozwiązanie?

 

Panowie Skabiczewski i Panajew (Korowiow i Behemot, a właściwie Pogo i Ex nihilo ).

 Skoro zagadki matematyczne, to nie tylko taką jest drabina, ale i astroboy. Oczywiście jest punktowy, nie niesie żadnego pędu i nie wywołuje żadnych momentów (fuj! siły oczywiście ).

[pogo 102]

"Opór" stawiany przez drabinę będzie przypominał ctg (dla kąta przy ścianie, bo on będzie ładnie rósł od 0 do 90°, więc i wykres wyjdzie w dobrą stronę ).

To oznacza, że przyspieszenie ziemskie "skuteczne" będzie g/ctg(ß). Jeszcze nie mam pomysłu jak to przeliczyć na zmianę prędkości w czasie... szczególnie, że wchodzą tu jeszcze 2 kolejne zmienne: długość drabiny i wysokość na jakiej się uczepił jej Astroboy.

[thikim 119]

W międzyczasie rzucę prostszą z eleganckim rozwiązaniem zagadkę:

jest rzeka, dziurawy most, jedna latarka i 4 turystów i noc.

Turysta (turyści) mogą przejść tylko z latarką.

Maksymalnie dwóch turystów utrzyma most.

Problem jest w tym że:

Turysta A przechodzi most w 12 minut

Turysta B przechodzi most w 9 minut

Turysta C przechodzi most w 7 minut

Turysta D przechodzi most w 5 minut.

A jeśli idzie dwóch to muszą iść razem więc idą tempem wolniejszego.

Ile najmniej czasu potrzebują aby przejść na drugą stronę rzeki.

No i opis w jakiej kolejności wtedy idą.

Proste i eleganckie. Jak widzicie za wiele sensownych tu kombinacji nie ma

Edytowane 15 grudnia 2014 przez thikim

[Astroboy 34]

Ex nihilo. Dobrze kombinujesz, oczywiście masz rację. Torem będzie kawałek okręgu. Ale skoro to matematyczne, to może jakiś prosty matematyczny dowód tegoż? Czepiłbym się może tylko promienia tego okręgu. O ile po przyglebieniu drabiny astroboy zahaczy nosem o glebę (taki punktowy nos ), to raczej nie będzie dyskutował z kretami poniżej gruntu.

 

Pogo.  Też dobrze kombinujesz. Jak powiedziałem, drabina ma długość H, a astroboy przysiada w połowie jej długości (coby nie komplikować ).

 

Thikim. Fajne. Nie ogarniam tylko, po co jest latarka? Czy po to, by przechodzącym oświetlić miejsca owych dziur w moście,  czy też nie warto zostawić jej tym, którzy czekają (w końcu może się zechcieć siku, a przy powrocie bez latarki można spaść w urwiska…). No i czy latarkę możemy sobie przerzucać? Łapiący nie będzie miał raczej problemów, choć pewnie rzucający będzie się musiał kierować słuchem.