Matematyczne zagadki. na początek Mały Książe

[Staruch 1]

Witam miłych forumowiczów.

Chciałbym zaproponować niebanalne zagadki matematyczne, mają być ciekawe w treści i inne od typowych zagadnień serwowanych przez podręczniki.

Na początek proponuję zagadkę związaną z postacią Małego Księcia z powieści  Antoine’a de Saint-Exupéry’ego.

 

Brzmi ona tak:

 

Mały Książe trafił na małą planetę, miała ona jedynie 100 metrów średnicy. Książe postanowił obejść ją całą.

Dla uproszczenia, planeta ma kształt kuli, Książe  idzie po równiku ze stałą prędkością, (robi kroki długości 1 metra w czasie 1 sekundy).

Planeta ma jednak zupełnie nietypową właściwość, ponieważ po każdym kroku Małego Księcia jej średnica rośnie o 100 m.

 

Pytanie:

Czy Mały Książe zdoła obejść całą planetę, a jeżeli tak, to w jakim czasie i jaką ona będzie miała wtedy średnicę.

 

Jeśli temat się spodoba, liczę na inna ciekawe zagadki, sam mam również kilka w zanadrzu.

 

 

 

[pogo 102]

Na starcie planeta ma 314m obwodu (mniejsza o ułamki).

Po każdym kroku średnica planety zwiększa się o 100m, czyli obwód rośnie o 314.

Oznacza to, że droga do pokonania rośnie 314 razy szybciej niż Mały Książe idzie, więc nie ma szans na obejście planety.

Po każdym kolejnym wykonanym kroku Mały Książe wciąż ma za sobą tylko 1/314 drogi, a przed sobą całą resztę...

 

Teraz zaczynam się zastanawiać jaka jest graniczna wartość przyrostu drogi aby była ona możliwa do pokonania w skończonym czasie.

 

 

Edit: zapomniałem, że droga za MK też się rozszerza, więc wszystkie obliczenia od nowa...

 

Edit2:

Liczymy:

Kiedy MK robi pierwszy krok to droga za nim wynosi już 2m (+2m)

Kiedy robi drugi... to ten pierwszy "metr" jest już 3 metrami, a drugi to 1,5m... w sumie 4,5m (+2,5)

Trzeci krok i pierwszy to 4m, drugi - 2m, trzeci - 1,(3)m... w sumie 7,(3)m (+2,8(3))

Czwarty krok: pierwszy - 5m, drugi - 2,5m, trzeci 1,(6)m, czwarty - 1,25m... w sumie 10.41(6) +(3,08(3))

 

Wstępnie wygląda na jakąś funkcję wielomianową, więc jej przyrost będzie większy niż funkcji liniowej określającej obwód planety. Pozostaje znaleźć punkt przecięcia obu funkcji...

 

Nie mam czasu liczyć... W końcu się zabrałem za projekt, nie wolno mi tego marnować

[thikim 119]

 

Po każdym kolejnym wykonanym kroku Mały Książe wciąż ma za sobą tylko 1/314 drogi, a przed sobą całą resztę..

To nie jest prawda.

Edit1:

Widzę że sam już zauważyłeś. Komentowałem na bieżąco jak zwykle Mądrzej jest najpierw przeczytać w całości - mądrzej ale nudniej.

Można to inaczej rozwalić:

Książę (K) robi za pierwszym krokiem 1/314 obwodu, za drugim robi 1/(2x314), za trzecim 1/(3x314) czyli ogólnie ciąg 1/(nx314).

Pytanie brzmi kiedy suma tego ciągu = 1

Edytowane 7 grudnia 2014 przez thikim

[Stanley 15]

EDIT momencik, bo nastąpił błąd w obliczeniach

 

pogo - jak droga się rozszerza mistrzu? co Ty frandzolisz?

Poza tym jeśli nie zamierzasz kończyć

- nie zaczynaj

 

Jeśli planeta byłaby jak balon to pewnie byłoby tak jak opisałeś, ale w zadaniu ani słowa o tym że mu przebytej drogi przyrasta z tytułu większego rozmiaru. Nie wiadomo jakie właściwości miały kontynenty na jej powierzchni, być może te które mijał pozostawały nietknięte.

Pozostając na orbicie wokół gwiazdy trudno by się nie obracała - w dodatku coraz szybciej  

Metaliczne jądro coraz szybciej wirowało wytwarzając coraz większe pole magnetyczne, zmieniła się orbita obrotu, a każdym krokiem (na wschód rzecz jasna) destabilizował całą planete robiąc się coraz "cięższy", robiło się coraz zimniej i trudniej a tempo trzeba utrzymać  

To napewno szedł Mały Książe? A może to biegła Kowalczyk za astmatyczkami z norwegii?

Mała królewna...za sportowcami na dopingu prawie jak na planecie Małego Księcia... nie ma szans dogonić.

 

W każdym razie zadanie obejścia jego planety utrzymując stałe tempo jest niewykonalne, a proporcja obwodu do liczby kroków z biegiem czasu będzie coraz to dokładniej odzwierciedlać 100 * wielokrotnośc liczby pi, proporcja obwodu do pokonanej drogi będzie obarczona coraz mniejszym błędem(względem 100*Pi) ale będzie to wciąż około 1/314,159265 drogi jaka zostanie do pokonania.

 

Po! pierwszym kroku średnica planety wynosi 200m więc po! pierwszym kroku pokonał 1/628 obwodu, bo pozostanie mu 628-1, po 9 kroku pokonał 9m a średnica ma już 1000m, obwód 1000m*pi, po 99 kroku pokonał 99m średnica planety osiągnie 10000m a obwód 10000m *pi i tak dalej i tak dalej. Po 9 999 999 kroku(metrze) będzie miał do pokonania 1 000 000 000 * pi 

Edytowane 7 grudnia 2014 przez Stanley

[pogo 102]

Stanley

Twierdzisz, że wyjdzie z tego na początek dość płaska linia, która stopniowo będzie się podnosić z asymptotą równoległą do prostej przyrostu planety?

Mam nadzieję, że ktoś zrozumiał co napisałem

[thikim 119]

 

po 99 kroku pokonał 99m

No nie. Bo rośnie zarówno obwód za nim jak i przed nim. Trochę to podobne do bliźniaczego tematu gdzie poza fotonami rozszerza się przestrzeń.

Edytowane 7 grudnia 2014 przez thikim

[pogo 102]

thikim

Tak patrzę na Twój ciąg i jest to ciąg geometryczny o współczynniku mniejszym od 1. (a_n = a_n-1 * 1/314, lub jak kto woli: a_n = a₁ * (1/314)^n-1).

To trochę jak napisać 0,5 i liczyć ile "5" trzeba jeszcze dopisać aby uzyskać 1.

Mamy więc funkcję o asymptocie poziomej mniejszej od 1.

 

 

jeśli planeta byłaby jak jak balon to pewnie byłoby tak jak opisałeś

Nikt też nie napisał, że tak nie jest, a bez tego założenia nie ma kompletnie co liczyć.

 

cecha typowa dla szefów

Chyba czas pójść pogadać z prezesem o awansie

[thikim 119]

Ponieważ pogo zadanie jest niewykonalne jak pokazuje ten ciąg.

Wzrost rozmiaru planety jest zbyt szybki.

W kroku 0 K ma do pokonania 314 kroków.

W kroku 1 K ma do pokonania 628-1 - 2 = 625 kroków

W kroku 2 K ma do pokonania ok. 940-2-1-3  = ok. 935 kroków

W takim tempie kroczenia na nic to że droga pokonana także rośnie.

Przy okazji źle zapisałeś mój ciąg

Edytowane 7 grudnia 2014 przez thikim

[ex nihilo 222]

 

Czy Mały Książe zdoła obejść całą planetę, a jeżeli tak, to w jakim czasie i jaką ona będzie miała wtedy średnicę.

 

 

Oblezie... w nieskończonym czasie... Albo nie oblezie nawet wtedy -> jeśli uwzględnimy moc zbiorów metrów kroków i metrów średnicy.

 

Ale: to jest planeta, czyli musi mieć jakąś masę, można minimum tej masy wyliczyć dla t=0. Zakładając, że materiał, z którego planeta jest zrobiona, będzie cały czas ten sam, można wyliczyć po ilu krokach zrobi się z niej planeta neutronowa, a później kiedy klapnie toto wszysto w czarne dziursko... i nie bedziemy wiedzieli czy MK lezie tam nadal, czy już mu się odechciało 

Edytowane 7 grudnia 2014 przez ex nihilo

[pogo 102]

 

 

Przy okazji źle zapisałeś mój ciąg

Rzeczywiście. Przy okazji to komplikuje sprawę, bo nagle przestał to być ciąg geometryczny.

Czy po przekroczeniu połowy drogi nadal będzie mu przybywało drogi szybciej niż idzie? I czy dotrze do połowy?

 

Zaraz się skurzę i napiszę program, który spróbuje to policzyć na piechotę

[Staruch 1]

Jak widzę, kilku osobą zagadka się spodobała, więc mała podpowiedź.

Przyjmijmy, że planeta jest jednak matematyczna a nie jest to obiekt fizyczny bo w takim przypadku zapadła by się bez wątpienia w czarną dziurę.

I oczywiście możemy założyć, że po każdym kroku MK nadyma się jak balonik o 100 metrów.

Najbliżej rozwiązania jest obecnie thikim. 

 

W n-tym kroku MK przechodzi

    1/(n*100π)

aktualnego obwodu równika. Kroki są więc relatywnie coraz mniejsze, ale niezerowe.

 

Życzę miłego rozwiązywania.

[Staruch 1]

Pogo nie pisz programu który policzy to na piechotę, Gwarantuję nie tędy droga. Na piechotę się tego nie policzy.

[pogo 102]

Napisałem... ale mój MK się poddał po przebyciu nieco ponad 2mld kroków (limit dla int32). Dalej nawet nie próbuję liczyć, bo precyzja spada tak bardzo, że może wyjść wszystko.

 

Każdy kolejny krok daje "awans" o (n-1)/n tego co dawał poprzedni. I nie mam pomysłu jak to wykorzystać...

 

Edit:

Pogrzebałem i znalazłem coś takiego jak szereg harmoniczny. Doskonale nam pasuje i daje gwarancję, że MK zakończy wycieczkę w skończonym czasie.

Pozostaje policzenie jaki to będzie czas... Niestety nie mogę nic znaleźć o łatwym obliczaniu sumy takiego szeregu dla punktu n...

[darekp 80]

Odpowiedź nie matematyczna, ale fizyczna, więc pewnie będna. Ale tak jakoś mi się skojarzyło Trzeba policzyć jaka jest pierwsza prędkość kosmiczna dla 100-metrowej planety. Podejrzewam, że może wyjść mniej niż 1 metr na sekundę. W takiej sytuacji MK może okrążyć planetę jednym krokiem (kroko-skokiem, czy czymś takim), zanim planeta zdąży się się powiększyć .

[Staruch 1]

Ciekawa propozycja fizyczna

Jeżeli przyjmiemy, że planeta ma średnią gęstość porównywalną ze średnią gęstością Ziemi to wynosi ona 5,51*10³ kg/m³.

Przy takiej gęstości masa planety M wyniesie około 2,9*10⁹ kg.

Pierwsza prędkość kosmiczna V₁=pierwiastek(G*M/R) da nam wynik nieco ponad 6 cm/sek.

 

Planeta MK jest jednak matematyczna, warunki fizyczne takie jak na powierzchni Ziemi, przez cały wiosna, stała temperatura, brak oceanów, rzek , gór czy czegokolwiek co przeszkadza w spacerze.

[thikim 119]

Rzucę podpowiedź:

Dowód Bradleya

I drugie hmm, liczba ta przekracza zakres Excela

ale można ją oszacować na jakieś 10^350

Edytowane 7 grudnia 2014 przez thikim

[pogo 102]

Jakiś sposób jak to obliczyłeś?

[thikim 119]

Excel

ale jak chcesz się pobawić to możesz podejść do problemu bardziej matematycznie i obliczyć 1=k(ln(n+1)), gdzie n - nasza niewiadoma, albo coś podobnego

a k= 1/(100PI).

Edytowane 7 grudnia 2014 przez thikim

[Staruch 1]

thikim jesteś blisko, jednak podana przez Ciebie liczba jest zdecydowanie zbyt duża.

Jeśli chodzi o Excel'a, to zapisuje on w komórkach liczby zmiennoprzecinkowe o podwójnej precyzji.

Do tego celu są wykorzystywane 64 bity z następującym podziałem: 1 bit znaku, 11 bitów wykładnika i 53 bity podstawy.

Daje to nam około 16 cyfr znaczących i zakres mniej więcej 10³⁰⁸.

Gwarantuję, że przybliżony wynik spokojnie zmieści się w komórce Excel'a.

Przy okazji pytanie, kiedyś spotkałem się z informacją, że ilość możliwych do rozegrania partii w grze GO wynosi właśnie jakieś 10³⁰⁸, czy to prawda?

[ex nihilo 222]

thikim jesteś blisko, jednak podana przez Ciebie liczba jest zdecydowanie zbyt duża.

 

 

Albo mi zima już całkiem łeb zmuliła, albo:

przyjmijmy, że pi=3

wtedy po n-tym kroku:

MK przeszedł: n (m)

do przejścia mu pozostało: 299n+300 (m)

?^?!

[Sitosław 0]

Cześć Wam. Wydaje mi się, że odpowiedź jest o wiele prostsza i szybsza, MK okrąży planetę po 11 sekundach, średnica planety po wykonaniu 11 kroku będzie miała 1200 m, obwód 3768 m, odległość pomiędzy bieżącą pozycją MK a punktem rozpoczęcia podróży będzie wynosiła 4094 m. Rozumiem to tak że, w chwili wykonania kroku dodajemy 1 metr do dotychczasowej odległości od startu i podwajamy tą wartość. Jeżeli w kroku 0 (MK jeszcze nie ruszył) odległość od startu wynosi 0, to po wykonaniu 1 kroku wynosi (0+1)*2=2, w drugim (2+1)*2=6 tym sposobem już w 11 kroku okrąży planetę.

[Sitosław 0]

Cześć Wam. Wydaje mi się, że odpowiedź jest o wiele prostsza i szybsza, MK okrąży planetę po 11 sekundach, średnica planety po wykonaniu 11 kroku będzie miała 1200 m, obwód 3768 m, odległość pomiędzy bieżącą pozycją MK a punktem rozpoczęcia podróży będzie wynosiła 4094 m. Rozumiem to tak że, w chwili wykonania kroku dodajemy 1 metr do dotychczasowej odległości od startu i podwajamy tą wartość. Jeżeli w kroku 0 (MK jeszcze nie ruszył) odległość od startu wynosi 0, to po wykonaniu 1 kroku wynosi (0+1)*2=2, w drugim (2+1)*2=6 tym sposobem już w 11 kroku okrąży planetę.

No dobra, źle! ;p

[radar 104]

A nie będzie to liczba kroków n, po których suma ciągu 1/(n*50) = 6,3 ?

Edytowane 8 grudnia 2014 przez radar

[Astroboy 34]

Jak podpowiedział Staruch, po n-tym kroku MK pokonuje 1/(n*100π) obwodu. Wystarczy zatem znaleźć odpowiedź, ileż to wyrazów ciągu harmonicznego należy posumować, by otrzymać 100π. Pi razy drzwi daje to 10¹³⁶, czyli jakieś 3*10¹²⁸ lat. Ale MK jest, jak wiemy, nieśmiertelny.

 

Edit: jako modyfikację proponuję wprowadzić Lisa. Ponieważ jest to NIEOSWOJONY Lis, to po każdym kroku MK cofa się o pół metra. Kiedy MK pogłaska Lisa?

Edytowane 8 grudnia 2014 przez Astroboy

[thikim 119]

Tak, zgadza się. Czym liczyłeś? Podejrzewam że mój pierwszy wynik wyszedł mocno błędny z powodu wrzucenia liczby Pi do sumowanych wartości.

Ty zgrabniej ją wyrzuciłeś na drugą stronę równania i błędy nie nawarstwiały się.

Edytowane 8 grudnia 2014 przez thikim