Wystarczy 27 kuponów, by mieć gwarancję wygranej w Lotto - obliczenia matematyków z Manchesteru

[KopalniaWiedzy.pl 320]

Matematycy z Uniwersytetu w Manchesterze postanowili sprawdzić, ile kuponów trzeba wypełnić, by mieć gwarancję wygranej w brytyjskiej National Lottery. Doktorzy David Stewart i David Cushing stwierdzili, że wystarczy 27 kuponów, by z pewnością wygrać w Lotto, w której losowanych jest 6 z 59 liczb. Jednak, co ważne, nie jest to gwarancja najwyższej wygranej, a wygranej w ogóle, więc raczej nie odzyskamy pieniędzy wydanych na kupony.

Do swoich obliczeń naukowcy wykorzystali strukturę geometryczną o nazwie Płaszczyzna Fana. To zbiór punktów i prostych tworzących trójkąt. W Płaszczyźnie Fana każde dwie różne proste mają jeden punkt wspólny, a każde dwa różne punkty należą do jednej prostej. Wykorzystując tę koncepcję Stewart i Cushing wyliczyli, że potrzebują dwóch trójkątów i trzech Płaszczyzn Fana, by wykorzystać wszystkie 59 liczb i wygenerować 27 kuponów, w których będzie co najmniej jedna wygrana. Na załączonych grafikach liczby, którymi należy wypełnić kupon, leżą na tej samej prostej.

Jeśli w ten sposób wypełnimy kupony to, niezależnie od tego, które z ponad 45 milionów zestawów liczb zostanie wylosowanych, zawsze coś wygramy. W każdym bowiem z 45 milionów rozwiązań loterii musi znaleźć się co najmniej jedna z przedstawionych przez matematyków par, a to oznacza, że trafimy co najmniej najniższą z możliwych wygranych. Co ważne, istotna jest tu liczba 27 kuponów. Jeśli postanowimy zaoszczędzić i wypełnimy ich 26 to metoda nie zadziała.

Na 26 kuponach mamy miejsce na 156 skreśleń, a to oznacza, że wiele liczb wielokrotnie się nie pojawi. Co więcej, stwierdziliśmy, że w takim wypadku możemy znaleźć aż 6 liczb, które w ogóle nie znajdą się na żadnym z kuponów. Mówiąc językiem teorii grafów, dla 26 kuponów istnieje niezależny zbiór sześciu elementów, wyjaśnia doktor Stewart, wykładowca matematyki teoretycznej.

Naukowcy przypominają, że mimo iż ich metoda gwarantuje wygraną, to szanse na zysk są tak małe, że nie warto jej stosować. Wysłanie 27 kuponów będzie nas kosztowało 54 funty i w 99% przypadków nie odzyskamy tej kwoty.

Stewart i Cushing mówią, że praca, którą wykonali, to interesujący problem obliczeniowy. Wykorzystali przy tym liczący sobie ponad 50 lat język programowania Prolog, jeden z najpopularniejszych języków programowania logicznego.

« powrót do artykułu

[radar 103]

Heh, tam nawet loterię mają lepszą niż u nas i wygrywają od dwójki :/

[Mariusz Błoński 185]

Ciekaw jestem, jak by to wyglądało w przypadku naszego Lotto. Ktoś z ogarniętych kolegów się podejmie?

[radar 103]

8 godzin temu, Mariusz Błoński napisał:

Ciekaw jestem, jak by to wyglądało w przypadku naszego Lotto

Wstępne szacunki pokazują to co podpowiadała mi intuicja, u nas to jest chamstwo i drobnomieszczaństwo

U nich liczba kombinacji dwójek z 59 to jeśli dobrze liczę 1 711

U nas liczba kombinacji trójek z 49 to 18 424

Ponad 10 krotnie mniejsza szansa na wygraną najniższego stopnia :/
EDIT: no dobra, znowu po linii najmniejszego oporu

Cytat

The problem is that the Fano plane is designed to ensure that every pair of numbers appears together in at least one block (or ticket). But you need to ensure that every 3-subset of numbers appears in at least one ticket, which is a more difficult problem.

Unfortunately, without a more detailed analysis or a computational search, it's not clear how to modify the Fano plane approach to solve this problem. It's possible that a more complex geometric structure or a different combinatorial design would be needed.

 

The problem of finding the minimum number of tickets to guarantee a win in a lottery can be solved using combinatorial design theory, specifically a system called a "covering design".

A covering design, C(v, k, t), is an arrangement of v elements into blocks (which can be thought of as tickets) such that every t-subset of the v elements is contained in at least one block. In the context of a lottery, v is the total number of possible numbers, k is the size of a lottery ticket, and t is the minimum match to win.

In your case, you're looking for a C(49, 6, 3) covering design. This means you want to cover all 3-subsets of the numbers 1 through 49 with blocks of size 6.

Unfortunately, the exact covering designs for many values of v, k, and t are not known, and finding them can be a computationally intensive task. However, there are upper bounds known for many values. According to the La Jolla Covering Repository, a well-known database of covering designs, the best known upper bound for C(49, 6, 3) is 163. This means that you would need at most 163 tickets to guarantee that you match at least 3 numbers.

Please note that this is an upper bound, and the actual minimum number of tickets could be lower. Finding the exact minimum would likely require a more detailed combinatorial analysis or a computational search.

 

Edytowane 7 sierpnia 2023 przez radar

[edi8 1]

Obaj doktorzy matematyki z Uniwersytetu w Manchesterze, którzy żmudną pracą dokonali wyliczenia minimalnej ilości zakładów dla gwarancyjnego uzyskania minimalnej wygranej w brytyjskiej grze National Lottery, w której losuje się 6 z 59 liczb a skreśla na kuponie 6 liczb, zaś wygrane są od trafienia 2 liczb i rezultatem ich pracy jest wynik 27 zakładów, o czym poinformowali w poniższym artykule:

https://www.manchester.ac.uk/discover/news/how-many-lottery-tickets-do-you-need-to-buy-to-guarantee-a-win-manchesters-mathematicians-find-the-answer/

wyważyli od dawna otwarte drzwi, bowiem już wiele lat jest znany rozpis o tych parametrach 59,6,2,6=27 a jego autorem jest Genivaldo Pereira i zgłosił go 12/23/2009 na już
zamkniętym portalu WeEf Wilfrieda Fromme z Niemiec:

https://web.archive.org/web/20170801103151/http://www.weefs-lottosysteme.de/systeme,6,6206,en.htm

zaś sam rozpis tego systemu jest dostępny na portalu http://lottodesigns.altervista.org/

https://lottodesigns.altervista.org/FilesTXT/V59/59,06,02,06%20combs.txt

C(59,6,2,6)=27

01 02 03 04 05 06
01 02 03 07 08 09
04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15
10 11 16 17 18 19
10 11 20 21 22 23
12 13 16 17 20 21
12 13 18 19 22 23
14 15 16 17 22 23
14 15 18 19 20 21
24 25 26 27 28 29
24 25 30 31 32 33
24 25 34 35 36 37
26 27 30 31 34 35
26 27 32 33 36 37
28 29 30 31 36 37
28 29 32 33 34 35
38 39 40 41 42 43
38 39 44 45 46 47
38 39 48 49 50 51
40 41 44 45 48 49
40 41 46 47 50 51
42 43 44 45 50 51
42 43 46 47 48 49
52 53 54 55 56 57
52 53 54 55 58 59
52 53 56 57 58 59

............................